sobota, 24 listopada 2012

Pochodne



Pochodna – w analizie matematycznej miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych

Niech y = f(x)\; będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x określoną w otoczeniu punktu x_0[2].Pochodną funkcji f(x) w punkcie x_0 nazywamy granicę (o ile istnieje):
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
Co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} f(x_0) = f'(x_0) = y'(x_0)[3],
We wzorze tym:
  • \Delta x\; jest przyrostem zmiennej niezależnej x,
  • \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\; jest przyrostem zmiennej zależnej y,
  • Wyrażenie \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.
Jeżeli przyjmie się, że x = x_0 + \Delta x, to pochodną w punkcie x_0 można zapisać następująco:
\lim_{x \to x_0}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
Często w publikacjach przyrost \Delta x oznacza się literą h. Wtedy pochodna jest równa:
\lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[4].
Jeśli funkcja \scriptstyle f ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny \scriptstyle U, to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji \scriptstyle f lub krótko: pochodną \scriptstyle f; w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem \scriptstyle f' – pozostałe oznaczenia opisano w oddzielnej sekcji – w ten sposób \scriptstyle f'(x) oznaczać będzie pochodną funkcji \scriptstyle f dla argumentu \scriptstyle x; w tym wypadku \scriptstyle f' również jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

Własności funkcji pochodne

:iloczyn pochodnej przez stałą,

(af)'(x) = af'(x)\;
  • pochodną sumy funkcji (addytywność),
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\;;
  • pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza),
(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\;
  • pochodną złożenia funkcji (reguła łańcuchowa),
f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)).
  • pochodną funkcji odwrotnej,
\left(f^{-1}\right)'(y) = \bigl(f'(x)\bigr)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0.
  • pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności),
\left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0
  • pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu),
\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0.

Przykłady


funkcje stałe i funkcje potęgowe,Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji i ich złożeń; niech \scriptstyle a oznacza stałą, zaś \scriptstyle n będzie liczbą naturalną, wówczas:
  • (a)' = 0, \qquad\qquad (x^n)' = nx^{n-1};
  • funkcje wykładnicze[8] i logarytmiczne[9]
    \begin{matrix} \left(e^x\right)' = e^x, & \qquad (a^x)' = a^x \ln a; \\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, & \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}; \end{matrix}
  • funkcje trygonometryczne[10],
    (\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x;
    (\mathrm{tg}\; x)' = \sec^2 x = \tfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \mathrm{tg}^2\; x.
  • funkcje cyklometryczne[11],
    (\arcsin x)' = \tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}};
    (\arccos x)' = -\tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}};
    (\mathrm{arctg}\; x)' = \tfrac{1}{{1 + x^2}};
    (\mathrm{arcctg}\; x)' = -\tfrac{1}{{1 + x^2}};
wszędzie, gdzie powyższe wzory mają sens.

Pochodne wyższego rzędu

Jeżeli pochodna funkcji f: (a, b) \to \mathbb{R} i stnieje w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b), to otrzymujemy funkcję f': (a, b) \to \mathbb{R}, taką że

x \mapsto f'(x) dla x ∈ (a, b).
Funkcję tę nazywamy pierwszą pochodną funkcji f. Ta funkcja może być również różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b). Różniczkując ją, otrzymujemy drugą pochodną funkcjif:
x \mapsto f''(x) dla x ∈ (a, b).
Oznaczamy to następująco:
f''(x) = f^{(2)}(x) = (f'(x))'\; lub y'' = (y')'\;.
Ogólnie pochodną rzędu n określamy rekurencyjnie:
f^{(n)}(x) = (f^{(n - 1)}(x))'\; lub y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'\;[12].

Przykłady

(e^x)^{(n)} = e^x\;

  1. (x^m)' = m x^{m - 1}, (x^m)'' = m (m - 1) x^{m - 2}, \cdots (x^m)^{(n)} = m (m - 1) \cdots (m - n + 1) x^{m - n}
  2. (x^m)^{(m)} = m!, (x^m )^{(m + 1)} = 0\;
  3. (a^x)^{(n)} = a^x \ln^{n} a\;
  4. (\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{\pi n}{2}), (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{\pi n}{2})
  5. n-tą pochodną iloczynu funkcji można wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:
(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{n - k} v^{k}

Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema i punkty przegięcia

Z twierdzenia Lagrange'a wynikają następujące własności pochodnej

Jeżeli funkcja f: (a, b) \to \mathbb{R} jest różniczkowalna, to
  1. Jeśli \forall_{x \in (a, b)} f'(x) > 0, to f jest funkcją rosnącą na (a, b).
  2. Jeśli \forall_{x \in (a, b)} f'(x) \geqslant 0, to f jest funkcją niemalejącą na (a, b).
  3. Jeśli \forall_{x \in (a, b)} f'(x) < 0, to f jest funkcją malejącą na (a, b).
  4. Jeśli \forall_{x \in (a, b)} f'(x) \leqslant 0, to f jest funkcją nierosnącą na (a, b).
  5. Jeśli \forall_{x \in (a, b)} f'(x) = 0, to f jest funkcją stałą na (a, b).
Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są miejsca zerowe jej pochodnej. Ponieważ funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą[23], więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności f' > 0\; i f' < 0\; są sumami przedziałów otwartych.
Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół mają skończoną lub przeliczalną liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna. Wtedy każde miejsce zerowe albo oddziela dwa przedziały, na których pochodna przyjmuje jednakowe znaki, albo różne znaki. Stąd wynikają następujące definicje.
  • Funkcja f: (a, b) \to \mathbb{R} przyjmuje w punkcie x0 maksimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b), że dla każdego x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)  zachodzi nierówność f (x) < f (x_0)\;[24].
Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji f jest:
dodatnia w przedziale (x_0 - \delta, x_0),
równa zero w x0,
ujemna w przedziale (x_0, x_0 + \delta)
to funkcja f ma w x0 maksimum.
  • Funkcja f: (a, b) \to \mathbb{R} przyjmuje w punkcie x0 minimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b), że dla każdego x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)  zachodzi nierówność f (x) > f (x_0)\;[25].
Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji f jest:
ujemna w przedziale (x_0 - \delta, x_0),
równa zero w x0,
dodatnia w przedziale (x_0, x_0 + \delta)
to funkcja f ma w x0 minimum.
Minima i maksima funkcji nazywamy jej ekstremami.
  • Funkcja f: (a, b) \to \mathbb{R} ma w punkcie x0 punkt przegięcia, jeśli jej pochodna jest:
równa zero w x0,
albo dodatnia, albo ujemna w zbiorze (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) .

Schemat badania zmienności funkcji\

Przed narysowaniem wykresu funkcji f: (a, b) \to \mathbb{R} należy[26]:

  1. Znaleźć dziedzinę funkcji. Znaleźć granice funkcji w punktach brzegu dziedziny.
  2. Znaleźć miejsca zerowe pochodnej funkcji, punkty, w których pochodna funkcji nie istnieje lub jest równa ±∞. Obliczyć wartości funkcji w tych punktach i stwierdzić, czy w tych punktach funkcja przyjmuje minimum lub maksimum.
  3. Na każdym z przedziałów wyznaczonych przez miejsca zerowe pochodnej ustalić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
  4. Zbadać istnienie punktów przegięcia funkcji.
  5. Rozwiązać, jeśli to możliwe, równanie f (x) = 0 oraz ustalić przedziały, w których funkcja ma stały znak.
  6. Znaleźć asymptoty funkcji.

Funkcje wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe

W przypadku funkcji wielu zmiennych \scriptstyle f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R możliwe jest ustalenie \scriptstyle n-1 jej argumentów i traktowanie jej jako funkcji jednej zmiennej – pochodną względem tej zmiennej nazywa się „pochodną cząstkową”. Jeśli \scriptstyle \mathrm x \mapsto f(\mathrm x), gdzie \scriptstyle \mathrm x = (x_1, \dots, x_n), to pochodną cząstkową funkcji \scriptstyle f względem jej \scriptstyle i-tej współrzędnej \scriptstyle x_i nazywa się wartość granicy

\lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i + h, x_{i+1}, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n)}{h},
o ile istnieje i jest skończona. W zapisie wektorowym powyższą granicę można zapisać wzorem
\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathrm x + \mathbf h) - f(\mathrm x)}{h},
gdzie \scriptstyle \mathbf h = (0, \dots, 0, h, 0, \dots, 0) jest wektorem o jedynej niezerowej współrzędnej \scriptstyle i-tej.
Powyższą definicję można rozszerzyć zauważając, że \scriptstyle \mathbf h = h\mathbf e_i, gdzie \scriptstyle \mathbf e_i jest wektorem bazy standardowej przestrzeni \scriptstyle \mathbb R^n. Wybranie dowolnego wektora jednostkowego \scriptstyle \mathbf u zamiast wektora bazy prowadzi do definicji pochodnej kierunkowej wzdłuż \scriptstyle \mathbf u, mianowicie:
\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathrm x + h\mathbf u) - f(\mathrm x)}{h}.
Jeśli \scriptstyle \mathbf u = u_1 \mathbf e_1 + \dots + u_n \mathbf e_n jest wektorem jednostkowym, to pochodna kierunkowa funkcji \scriptstyle f wzdłuż \scriptstyle u jest równa kombinacji liniowej pochodnych cząstkowych funkcji \scriptstyle f o współczynnikach \scriptstyle u_1, \dots, u_n.

Pochodne zupełne

W czerwonym punkcie paraboloidyfunkcja \scriptstyle \mathbb R^2 \to \mathbb R ją opisująca przyjmujemaksimum: warunkiem koniecznym jego istnienia jest znikanie pochodnej (w słabym/silnym sensie) wspomnianej funkcji.

Dowolną funkcję \scriptstyle \mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m można rozłożyć na funkcje współrzędnych \scriptstyle f_1, \dots, f_m\colon \mathbb R^n \to \mathbb R przyjmując \scriptstyle \mathrm f = (f_1, \dots, f_m). Jeżeli funkcje te są różniczkowalne w każdym kierunku, co jest równoważne istnieniu ich wszystkich pochodnych cząstkowych, to funkcję \scriptstyle \mathrm f nazywa się różniczkowalną w słabym sensie[27]; przedstawieniem tej pochodnej we współrzędnych za pomocą odpowiadającej jej macierzy przekształcenia liniowego jest tzw.macierz Jacobiego.
Mogłoby się wydawać, że definicja słabej pochodnej jest w zupełności zadowalająca, jednak w przypadku funkcji wielowymiarowych należy zwrócić uwagę na zjawiska związane z większą liczbą wymiarów: istnieją przykładowo funkcje, które mają pochodne we wszystkich kierunkach (równoważnie: mają wszystkie pochodne cząstkowe, zob. ostatni ustęp poprzedniej sekcji), czyli wzdłuż prostych, lecz nie mają pochodnych wzdłuż innych krzywych – problem ten nie istnieje w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, gdzie granicę można obliczać wyłącznie wzdłuż krzywych leżących wyłącznie na prostej.
Definicja pochodnej funkcji wielu zmiennych \scriptstyle \mathrm f stanowiącą rozwiązanie tego problemu naśladuje definicję „różniczkową” dla funkcji rzeczywistej (zob.Związek z różniczką). Pochodną w mocnym sensie[28] funkcji \scriptstyle \mathrm f dla argumentu punktowego \scriptstyle \mathrm x \in \mathbb R^n nazywa się takie przekształcenie liniowe \scriptstyle \mathrm{A_x}\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m, dla którego zachodzi
\lim_{|\mathbf h| \to 0}~\frac{\bigl|\mathrm f(\mathrm x + \mathbf h) - \mathrm f(\mathrm x) - \mathrm{A_x}(\mathbf h)\bigr|}{|\mathbf h|} = 0,
gdzie \scriptstyle |\cdot| oznacza moduł odpowiednich wektorów; odwzorowanie \scriptstyle \mathbf h \mapsto \mathrm{A_x}(\mathbf h), podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, nazywa się różniczką (w mocnym sensie) funkcji \scriptstyle \mathrm f[29]. Rolę funkcji pochodnej pełni tu więc odwzorowanie \scriptstyle \mathrm A\colon \mathbb R^n \to \mathrm L(\mathbb R^n, \mathbb R^m) przestrzeni współrzędnych w przestrzeń liniową przekształceń liniowych (por. przestrzeń funkcyjna przekształceń liniowych) dane wzorem \scriptstyle \mathrm x \mapsto \mathrm{A_x}, tj. przypisujące punktowi przekształcenie liniowe.
Istnienie pochodnej w silnym sensie pochodnej pociąga istnienie pochodnej w słabym sensie; jeżeli jednak funkcja jest różniczkowalna w słabym sensie i wszystkie jej pochodne cząstkowe (kierunkowe) są ciągłe, to funkcja jest różniczkowalna w silnym sensie w sposób ciągły (tzn. jest klasy \scriptstyle \mathrm C^1). Oba rodzaje pochodnych mają wiele własności pochodnej funkcji rzeczywistej, np.liniowość, czy zachodzenie reguły łańcuchowej. Bezpośrednie generalizacje pojęć pochodnych w słabym/silnym sensie, tj. pochodne Gâteaux/Frécheta, opisano w Uogólnieniach.


zródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna

Autor: o Brak komentarzy:
Subskrybuj: Posty (Atom)